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加法定理
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
$\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$
$\tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$
プラスの加法定理から、符合を変えると、マイナスの加法定理は、簡単に導けます。
倍角の公式
$\sin 2x=2\sin x\cos x$
$\cos 2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x$
$\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$
倍角の公式は、加法定理の2つの角を、同じにしたものです。
三倍角の公式
$\sin 3x=-4\sin^3 x+3\sin x$
$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$
三倍角の公式は、加法定理を連続で用いて、導きます。
半角の公式
$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$
$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$
$\tan^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$
半角の公式は、倍角の公式から導きます。
半角の公式は、三角関数の二乗を一乗に変換している点に、注意しましょう。
和積公式
$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
$\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$
$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
$\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$
和積の公式は、加法定理から導きます。
積和公式
$\sin x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\sin(x+y)+\sin(x-y)\}$
$\sin x\sin y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x-y)-\cos(x+y)\}$
$\cos x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}$
積和の公式は、加法定理から導きます。
三角関数の合成
$a$ と $b$ のいずれかが $0$ でないとき
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$
ただし,$\alpha$ は $\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$,$\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角度と定義する。
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