目次

加法定理

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

  

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

  

$\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

$\tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$

  

プラスの加法定理から、符合を変えると、マイナスの加法定理は、簡単に導けます。

倍角の公式

$\sin 2x=2\sin x\cos x$

$\cos 2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x$

$\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$

  

倍角の公式は、加法定理の2つの角を、同じにしたものです。

三倍角の公式

$\sin 3x=-4\sin^3 x+3\sin x$

$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$

  

三倍角の公式は、加法定理を連続で用いて、導きます。

半角の公式

$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$

$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$

$\tan^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$

  

半角の公式は、倍角の公式から導きます。

半角の公式は、三角関数の二乗を一乗に変換している点に、注意しましょう。

和積公式

$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$

$\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$

$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$

$\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$

  

和積の公式は、加法定理から導きます。

積和公式

$\sin x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\sin(x+y)+\sin(x-y)\}$

$\sin x\sin y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x-y)-\cos(x+y)\}$

$\cos x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}$

  

積和の公式は、加法定理から導きます。

三角関数の合成

$a$ と $b$ のいずれかが $0$ でないとき

  

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

  

ただし,$\alpha$ は $\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$,$\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角度と定義する。

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