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>E反比例のグラフ(双曲線)

反比例のグラフ

反比例の式 \( \Large y= \frac{\huge 2}{\huge x} \) を、座標に描いてみよう。

\( \Large x=1 \) のとき、\( \Large y=2 \) になる。点 \( \Large (1 \, , 2) \) を打つ。

\( \Large x=2 \) のとき、\( \Large y=1 \) になる。点 \( \Large (2 \, , 1) \) を打つ。

\( \Large x=0 \) のとき、右辺の分母が \( \Large 0 \) になるので、考えない。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,-30) \ar @{->}(16,30)}, {(24,2) \ar @{-}(24,-2)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(14,-24) \ar @{-}(18,-24)}, {(14,-18) \ar @{-}(18,-18)}, {(14,-12) \ar @{-}(18,-12)}, {(14,-6) \ar @{-}(18,-6)}, {(14,6) \ar @{-}(18,6)}, {(14,12) \ar @{-}(18,12)}, {(14,18) \ar @{-}(18,18)}, {(14,24) \ar @{-}(18,24)}, (24,12)*{ \bullet}="A", (30,6)*{ \bullet}="A", (12,12)*{2}="A", (12,6)*{1}="A", (24,-4)*{2}="A", (30,-4)*{1}="A", {(16,12) \ar @{.}(24,12)}, {(16,6) \ar @{.}(31,6)}, {(24,0) \ar @{.}(24,12)}, {(30,0) \ar @{.}(30,6)}, \end{xy}

点に沿って、線を引くと、曲線のグラフができあがる。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,-30) \ar @{->}(16,30)}, {(24,2) \ar @{-}(24,-2)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(14,-24) \ar @{-}(18,-24)}, {(14,-18) \ar @{-}(18,-18)}, {(14,-12) \ar @{-}(18,-12)}, {(14,-6) \ar @{-}(18,-6)}, {(14,6) \ar @{-}(18,6)}, {(14,12) \ar @{-}(18,12)}, {(14,18) \ar @{-}(18,18)}, {(14,24) \ar @{-}(18,24)}, (24,12)*{ \bullet}="A", (30,6)*{ \bullet}="A", (12,12)*{2}="A", (12,6)*{1}="A", (24,-4)*{2}="A", (30,-4)*{1}="A", {(16,12) \ar @{.}(24,12)}, {(16,6) \ar @{.}(31,6)}, {(24,0) \ar @{.}(24,12)}, {(30,0) \ar @{.}(30,6)}, (18,24)*[o]+{};(42,1)*[o]+{}="R" **\crv{(24,10)&(30,4)} \end{xy}

さらに

\( \Large x=-1 \) のとき、\( \Large y=-2 \) になる。点 \( \Large (-1 \, , -2) \) を打つ。

\( \Large x=-2 \) のとき、\( \Large y=-1 \) になる。点 \( \Large (-2 \, , -1) \) を打つ。

点に沿って、線を引くと、反対側にも曲線のグラフができあがる。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,2) \ar @{-}(16,-2)}, {(24,-30) \ar @{->}(24,30)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(22,-24) \ar @{-}(26,-24)}, {(22,-18) \ar @{-}(26,-18)}, {(22,-12) \ar @{-}(26,-12)}, {(22,-6) \ar @{-}(26,-6)}, {(22,6) \ar @{-}(26,6)}, {(22,12) \ar @{-}(26,12)}, {(22,18) \ar @{-}(26,18)}, {(22,24) \ar @{-}(26,24)}, (8,-6)*{ \bullet}="A", (16,-12)*{ \bullet}="A", (32,-6)*{-1}="A", (32,-12)*{-2}="A", (8,5)*{-2}="A", (16,5)*{-1}="A", {(24,-12) \ar @{.}(16,-12)}, {(24,-6) \ar @{.}(8,-6)}, {(16,0) \ar @{.}(16,-12)}, {(8,0) \ar @{.}(8,-6)}, (24,24)*[o]+{};(48,1)*[o]+{}="R" **\crv{(32,10)&(36,4)}; (0,-1)*{}="C"; (23,-24)*{}="D"; "C"; "D" **\crv{(8,-6) & (16,-8)}; \end{xy}

\( \Large y= \frac{\huge 2}{\huge x} \) のグラフは、離れた曲線が2つあるので、双曲線(そうきょくせん)と呼ぶ。



<例題 \( \Large 1 \) >以下の座標に、\( \large y=-\frac{\LARGE 2}{\LARGE x} \) のグラフを書きなさい。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,2) \ar @{-}(16,-2)}, {(24,-30) \ar @{->}(24,30)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(22,-24) \ar @{-}(26,-24)}, {(22,-18) \ar @{-}(26,-18)}, {(22,-12) \ar @{-}(26,-12)}, {(22,-6) \ar @{-}(26,-6)}, {(22,6) \ar @{-}(26,6)}, {(22,12) \ar @{-}(26,12)}, {(22,18) \ar @{-}(26,18)}, {(22,24) \ar @{-}(26,24)}, \end{xy}

<解答 \( \Large 1 \) >
\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,2) \ar @{-}(16,-2)}, {(24,-30) \ar @{->}(24,30)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(22,-24) \ar @{-}(26,-24)}, {(22,-18) \ar @{-}(26,-18)}, {(22,-12) \ar @{-}(26,-12)}, {(22,-6) \ar @{-}(26,-6)}, {(22,6) \ar @{-}(26,6)}, {(22,12) \ar @{-}(26,12)}, {(22,18) \ar @{-}(26,18)}, {(22,24) \ar @{-}(26,24)}, (8,6)*{ \bullet}="A", (16,12)*{ \bullet}="A", (36,-6)*{ \bullet}="A", (30,-12)*{ \bullet}="A", (24,-24)*[o]+{};(48,-1)*[o]+{}="R" **\crv{(30,-10)&(36,-3)}; (0,1)*{}="C"; (23,24)*{}="D"; "C"; "D" **\crv{(8,6) & (16,8)}; \end{xy}

双曲線のグラフの性質

比例定数 \( \Large a \) に注目すると、グラフの形が読み取りやすい。

比例定数 \( \Large a \) が正\( (a>0) \) ならば、グラフは、右上と左下の双曲線になる。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,2) \ar @{-}(16,-2)}, {(24,-30) \ar @{->}(24,30)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(22,-24) \ar @{-}(26,-24)}, {(22,-18) \ar @{-}(26,-18)}, {(22,-12) \ar @{-}(26,-12)}, {(22,-6) \ar @{-}(26,-6)}, {(22,6) \ar @{-}(26,6)}, {(22,12) \ar @{-}(26,12)}, {(22,18) \ar @{-}(26,18)}, {(22,24) \ar @{-}(26,24)}, (12,20)*{ y= \frac{\Large a}{\Large x}}="A", (12,12)*{ (a>0)}="A", (24,24)*[o]+{};(48,1)*[o]+{}="R" **\crv{(32,10)&(36,4)}; (0,-1)*{}="C"; (23,-24)*{}="D"; "C"; "D" **\crv{(8,-6) & (16,-8)}; \end{xy}

比例定数 \( \Large a \) が正\( (a<0) \) ならば、グラフは、右下と左上の双曲線になる。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,2) \ar @{-}(16,-2)}, {(24,-30) \ar @{->}(24,30)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(22,-24) \ar @{-}(26,-24)}, {(22,-18) \ar @{-}(26,-18)}, {(22,-12) \ar @{-}(26,-12)}, {(22,-6) \ar @{-}(26,-6)}, {(22,6) \ar @{-}(26,6)}, {(22,12) \ar @{-}(26,12)}, {(22,18) \ar @{-}(26,18)}, {(22,24) \ar @{-}(26,24)}, (36,20)*{ y= \frac{\Large a}{\Large x}}="A", (36,12)*{ (a<0)}="A", (24,-24)*[o]+{};(48,-1)*[o]+{}="R" **\crv{(30,-10)&(36,-3)}; (0,1)*{}="C"; (23,24)*{}="D"; "C"; "D" **\crv{(8,6) & (16,8)}; \end{xy}

なお、双曲線では \( \Large x=0 \) (原点)については、考えない。

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