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辺と辺の関係
立体図形では、辺と辺は、3つの関係になれる。交わるか、平行か、ねじれの位置か、だ。
例えば、直方体ABCD-EFGHで、辺と辺の関係を、考えていこう。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(20,12)},
{(0,0) \ar @{-}(0,-18)},
{(0,0) \ar @{-}(-20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(-20,12)},
{(20,12) \ar @{-}(20,-6)},
{(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(0,24)},
\end{xy}
辺と辺が交わる
辺ABが交わるのは、辺AD・辺BC・辺AE・辺BF、の4辺だ。
交わるとは、1点を共有する、ともいえる。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{}="A",
(-3,-21)*{}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(20,12)},
{(20,12) \ar @{-}(20,-6)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(-20,12)},
{(0,6) \ar @{.}(0,24)},
\end{xy}
<例題 \( \Large 1 \) >直方体ABCD-EFGHで、辺BFと交わる辺を、すべて書きなさい。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(20,12)},
{(0,0) \ar @{-}(0,-18)},
{(0,0) \ar @{-}(-20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(-20,12)},
{(20,12) \ar @{-}(20,-6)},
{(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(0,24)},
\end{xy}
辺と辺が平行
辺ABが平行なのは、辺CD・辺EF・辺GH、の3辺だ。
平行な辺は、1つの面に並べることができる。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(-20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(20,-6)},
\end{xy}
平行な辺は、1つの面に並べることができる。
例えば、辺ABと辺HGは、平行なので、1つの面に並べることができる。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,24) \ar @{.}(-20,-6)},
{(0,-18) \ar @{.}(20,12)},
\end{xy}
<例題 \( \Large 2 \) >直方体ABCD-EFGHで、辺BFと平行な辺を、すべて書きなさい。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(20,12)},
{(0,0) \ar @{-}(0,-18)},
{(0,0) \ar @{-}(-20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(-20,12)},
{(20,12) \ar @{-}(20,-6)},
{(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(0,24)},
\end{xy}
辺と辺がねじれの位置
ねじれの位置とは、交わらない辺で、かつ、平行でもない辺だ。
\begin{xy}
(5,0)*{辺と辺}="A",
(-10,-10)*{交わる}="A",
(5,-20)*{交わらない}="A",
{(5,-2) \ar @{-}(5,-17)},
{(5,-10) \ar @{-}(-2,-10)},
(-10,-30)*{平行}="A",
(5,-40)*{ねじれの位置}="A",
{(5,-23) \ar @{-}(5,-38)},
{(5,-30) \ar @{-}(-4,-30)},
\end{xy}
例えば、辺ABとねじれの位置の辺を、2段階に分けて求めよう。
まずは、辺ABと交わらない辺を求めよう。
辺ABと交わらない辺は、辺CD・辺CG・辺DH・辺EF・辺EH・辺FG・辺HG、だ。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(0,-18)},
{(0,0) \ar @{-}(-20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(-20,-6)},
\end{xy}
そこから、辺ABと平行な辺を、取り除こう。
辺ABと平行な辺は、辺CD・辺EF・辺HG、だ。
平行な辺を取り除いて、残った辺CG・辺DH・辺EH・辺FG、が、ねじれの位置の辺だ。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(0,-18)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(-20,-6)},
\end{xy}
<例題 \( \Large 3 \) >直方体ABCD-EFGHで、辺BFとねじれの位置の辺を、すべて書きなさい。
\begin{xy}
(-3,27)*{A}="A",
(23,15)*{B}="A",
(-23,15)*{D}="A",
(-3,-3)*{C}="A",
(-3,9)*{E}="A",
(23,-9)*{F}="A",
(-23,-9)*{H}="A",
(-3,-21)*{G}="A",
(0,0)*{\bullet}="A",
(20,12)*{\bullet}="A",
(-20,12)*{\bullet}="A",
(20,-6)*{\bullet}="A",
(-20,-6)*{\bullet}="A",
(0,-18)*{\bullet}="A",
(0,6)*{\bullet}="A",
(0,24)*{\bullet}="A",
{(0,0) \ar @{-}(20,12)},
{(0,0) \ar @{-}(0,-18)},
{(0,0) \ar @{-}(-20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(20,12)},
{(0,24) \ar @{-}(-20,12)},
{(20,12) \ar @{-}(20,-6)},
{(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(20,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(-20,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(0,24)},
\end{xy}
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