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数学の楽園
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辺と辺の関係

立体図形では、辺と辺は、３つの関係になれる。交わるか、平行か、ねじれの位置か、だ。

例えば、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、辺と辺の関係を、考えていこう。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

辺と辺が交わる

辺ＡＢが交わるのは、辺ＡＤ・辺ＢＣ・辺ＡＥ・辺ＢＦ、の４辺だ。

交わるとは、１点を共有する、ともいえる。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{}="A", (-3,-21)*{}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

＜例題 \( \Large 1 \) ＞直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、辺ＢＦと交わる辺を、すべて書きなさい。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

＜解答 \( \Large 1 \) ＞
    辺ＡＢ    辺ＥＦ    辺ＢＣ    辺ＦＧ

辺と辺が平行

辺ＡＢが平行なのは、辺ＣＤ・辺ＥＦ・辺ＧＨ、の３辺だ。

平行な辺は、１つの面に並べることができる。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, \end{xy}

平行な辺は、１つの面に並べることができる。

例えば、辺ＡＢと辺ＨＧは、平行なので、１つの面に並べることができる。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,24) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{.}(20,12)}, \end{xy}

＜例題 \( \Large 2 \) ＞直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、辺ＢＦと平行な辺を、すべて書きなさい。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

＜解答 \( \Large 2 \) ＞
    辺ＡＥ    辺ＣＧ    辺ＤＨ

辺と辺がねじれの位置

ねじれの位置とは、交わらない辺で、かつ、平行でもない辺だ。

\begin{xy} (5,0)*{辺と辺}="A", (-10,-10)*{交わる}="A", (5,-20)*{交わらない}="A", {(5,-2) \ar @{-}(5,-17)}, {(5,-10) \ar @{-}(-2,-10)}, (-10,-30)*{平行}="A", (5,-40)*{ねじれの位置}="A", {(5,-23) \ar @{-}(5,-38)}, {(5,-30) \ar @{-}(-4,-30)}, \end{xy}

例えば、辺ＡＢとねじれの位置の辺を、２段階に分けて求めよう。

まずは、辺ＡＢと交わらない辺を求めよう。

辺ＡＢと交わらない辺は、辺ＣＤ・辺ＣＧ・辺ＤＨ・辺ＥＦ・辺ＥＨ・辺ＦＧ・辺ＨＧ、だ。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, \end{xy}

そこから、辺ＡＢと平行な辺を、取り除こう。

辺ＡＢと平行な辺は、辺ＣＤ・辺ＥＦ・辺ＨＧ、だ。

平行な辺を取り除いて、残った辺ＣＧ・辺ＤＨ・辺ＥＨ・辺ＦＧ、が、ねじれの位置の辺だ。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, \end{xy}

＜例題 \( \Large 3 \) ＞直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、辺ＢＦとねじれの位置の辺を、すべて書きなさい。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

＜解答 \( \Large 3 \) ＞
    辺ＡＤ    辺ＣＤ    辺ＥＨ    辺ＧＨ

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