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数学の楽園
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面と面の関係

立体図形では、面と面は、２つの関係になれる。交わるか、平行か、だ。

例えば、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、面と面の関係を、考えていこう。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

面と面が交わる

面ＡＢＦＥが交わるのは、４つの面だ。

面ＡＢＦＥと、面ＡＢＣＤと面ＥＦＧＨ

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

さらに、面ＡＢＦＥと、面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦ

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

面が交わるとは、直線を共有する、ともいえる。

なお、交わる面のうち、垂直に交わる面もある。



＜例題 \( \Large 1 \) ＞直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、面ＡＢＣＤと交わる面を、すべて書きなさい。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

＜解答 \( \Large 1 \) ＞
    面ＡＢＦＥ    面ＡＤＨＥ    面ＢＣＧＦ    面ＣＤＨＧ

面と面が平行

面ＡＢＣＤが平行なのは、面ＣＦＧＨだ。

平行な面同士は、どこまで延長しても、交わらない。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, \end{xy}

＜例題 \( \Large 2 \) ＞直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、面ＡＢＦＥと平行な面を、すべて書きなさい。

\begin{xy} (-3,27)*{A}="A", (23,15)*{B}="A", (-23,15)*{D}="A", (-3,-3)*{C}="A", (-3,9)*{E}="A", (23,-9)*{F}="A", (-23,-9)*{H}="A", (-3,-21)*{G}="A", (0,0)*{\bullet}="A", (20,12)*{\bullet}="A", (-20,12)*{\bullet}="A", (20,-6)*{\bullet}="A", (-20,-6)*{\bullet}="A", (0,-18)*{\bullet}="A", (0,6)*{\bullet}="A", (0,24)*{\bullet}="A", {(0,0) \ar @{-}(20,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(20,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-20,12)}, {(20,12) \ar @{-}(20,-6)}, {(-20,12) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(20,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-20,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

＜解答 \( \Large 2 \) ＞
    面ＣＤＨＧ

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