スポンサー広告

表面積

立体図形の表面積を求めるには、立体図形を展開して、平面図形に置き換えて、計算する。

角柱の表面積

\begin{xy} (0,30)*{正4角柱(立方体)}="A", (12,-14)*{2}="A", (-12,-14)*{2}="A", (-2,-7)*{2}="A", {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

正4角柱(立方体)を展開すると、\( 2 \times 2 \) の正方形が \( 6 \) 枚になる。

\begin{xy} (-2,6)*{2}="A", (6,-2)*{2}="A", {(0,-12) \ar @{-}(0,24)}, {(-12,0) \ar @{-}(36,0)}, {(12,-12) \ar @{-}(12,24)}, {(-12,12) \ar @{-}(36,12)}, {(0,24) \ar @{-}(12,24)}, {(0,-12) \ar @{-}(12,-12)}, {(-12,0) \ar @{-}(-12,12)}, {(24,0) \ar @{-}(24,12)}, {(36,0) \ar @{-}(36,12)}, \end{xy}

表面積は、\( (2 \times 2)\times 6 = 24 \) になる。

円柱の表面積

\begin{xy} (10,30)*{円柱}="A", (22,9)*{6}="A", {(0,0) \ar @{.}(10,0)}, (6,2)*{3}="A", {(0,0) \ar @{-}(0,20)}, {(20,0) \ar @{-}(20,20)}, (0,-2)*+[o]{}="A";(20,-2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(10,6)&(20,3)}; (0,2)*+[o]{}="A";(20,2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-3)&(10,-6)&(20,-3)}; (0,18)*+[o]{}="A";(20,18)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,23)&(10,26)&(20,23)}; (0,22)*+[o]{}="A";(20,22)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,17)&(10,14)&(20,17)}; \end{xy}

円柱を展開すると、円が \( 2 \) 枚、長方形が \( 1 \) 枚になる。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{-}(0,20)}, {(40,0) \ar @{-}(40,20)}, {(0,0) \ar @{-}(40,0)}, {(0,20) \ar @{-}(40,20)}, (10,30) *\cir<10mm>{}, (10,-10) *\cir<10mm>{}, {(0,30) \ar @{.}(10,30)}, (6,32)*{3}="A", {(0,-10) \ar @{.}(10,-10)}, (6,-8)*{3}="A", (37,10)*{6}="A", (20,3)*{6 \pi}="A", \end{xy}

円の円周と、長方形の横の辺が、等しくなっている。

表面積は、\( (3 \times 3 \times \pi) \times 2 + (6 \times 6 \pi) = 54 \pi \) になる。

角錐の表面積

\begin{xy} (0,25)*{正4角錐}="A", (10,-1)*{3}="A", (-2,-3)*{4}="A", {(-8,4) \ar @{-}(8,4)}, {(-8,4) \ar @{-}(-8,-8)}, {(8,-8) \ar @{-}(8,4)}, {(-8,-8) \ar @{-}(8,-8)}, {(-8,-8) \ar @{-}(0,15)}, {(8,-8) \ar @{-}(0,15)}, {(-8,4) \ar @{-}(0,15)}, {(8,4) \ar @{-}(0,15)}, {(0,-8) \ar @{.}(0,15)}, {(2,-6) \ar @{-}(0,-6)}, {(2,-6) \ar @{-}(2,-8)}, \end{xy}

正4角錐を展開すると、底面に正方形が \( 1 \) 枚、側面の3角形が \( 4 \) 枚になる。

\begin{xy} (8,0)*{3}="A", (-2,10)*{4}="A", {(6,6) \ar @{-}(-6,6)}, {(-6,6) \ar @{-}(-6,-6)}, {(-6,-6) \ar @{-}(6,-6)}, {(6,-6) \ar @{-}(6,6)}, {(-6,6) \ar @{-}(-20,0)}, {(-6,-6) \ar @{-}(-20,0)}, {(6,6) \ar @{-}(20,0)}, {(6,-6) \ar @{-}(20,0)}, {(6,6) \ar @{-}(0,20)}, {(-6,6) \ar @{-}(0,20)}, {(6,-6) \ar @{-}(0,-20)}, {(-6,-6) \ar @{-}(0,-20)}, {(0,6) \ar @{.}(0,20)}, {(0,8) \ar @{-}(2,8)}, {(2,6) \ar @{-}(2,8)}, \end{xy}

表面積は、\( (3 \times 3) + (3 \times 4 \div 2)\times 4 = 33 \) になる。

円錐の表面積

\begin{xy} (10,30)*{円錐}="A", (18,12)*{9}="A", (7,2)*{3}="A", (0,-2)*+[o]{}="A";(20,-2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(10,6)&(20,3)}; (0,2)*+[o]{}="A";(20,2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-3)&(10,-6)&(20,-3)}; {(0,0) \ar @{-}(10,25)}, {(20,0) \ar @{-}(10,25)}, {(10,0) \ar @{.}(0,0)}, \end{xy}

円錐を展開すると、底面に円が\( 1 \) 枚、側面がおうぎ形 \( 1 \) 枚になる。

\begin{xy} (19.5,17)*+[o]{}="A";(-20,17)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,33)}; {(0,0) \ar @{-}(18,18.5)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,18.5)}, (0,0) *\cir<6mm>{ur_dr}, (12,9)*{9}="A", (0,36) *\cir<10mm>{}, (1,9)*{120^\circ}="A", {(0,36) \ar @{.}(-10,36)}, (-5,39)*{3}="A", \end{xy}

円錐の母線は、おうぎ形の半径になっている。

表面積は、\( (3 \times 3 \times \pi) + (9 \times 9 \times \pi \times \large \frac{120}{360}) \normalsize = 36 \pi \) になる。

次へ

前へ