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表面積
立体図形の表面積を求めるには、立体図形を展開して、平面図形に置き換えて、計算する。
角柱の表面積
\begin{xy}
(0,30)*{正４角柱(立方体)}="A",
(12,-14)*{2}="A",
(-12,-14)*{2}="A",
(-2,-7)*{2}="A",
{(0,0) \ar @{-}(18,12)},
{(0,0) \ar @{-}(0,-18)},
{(0,0) \ar @{-}(-18,12)},
{(0,24) \ar @{-}(18,12)},
{(0,24) \ar @{-}(-18,12)},
{(18,12) \ar @{-}(18,-6)},
{(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(18,-6)},
{(0,-18) \ar @{-}(-18,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(18,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(-18,-6)},
{(0,6) \ar @{.}(0,24)},
\end{xy}
正４角柱（立方体）を展開すると、\( 2 \times 2 \) の正方形が \( 6 \) 枚になる。
\begin{xy}
(-2,6)*{2}="A",
(6,-2)*{2}="A",
{(0,-12) \ar @{-}(0,24)},
{(-12,0) \ar @{-}(36,0)},
{(12,-12) \ar @{-}(12,24)},
{(-12,12) \ar @{-}(36,12)},
{(0,24) \ar @{-}(12,24)},
{(0,-12) \ar @{-}(12,-12)},
{(-12,0) \ar @{-}(-12,12)},
{(24,0) \ar @{-}(24,12)},
{(36,0) \ar @{-}(36,12)},
\end{xy}
表面積は、\( (2 \times 2)\times 6 = 24 \) になる。
円柱の表面積
\begin{xy}
(10,30)*{円柱}="A",
(22,9)*{6}="A",
{(0,0) \ar @{.}(10,0)},
(6,2)*{3}="A",
{(0,0) \ar @{-}(0,20)},
{(20,0) \ar @{-}(20,20)},
(0,-2)*+[o]{}="A";(20,-2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(10,6)&(20,3)};
(0,2)*+[o]{}="A";(20,2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-3)&(10,-6)&(20,-3)};
(0,18)*+[o]{}="A";(20,18)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,23)&(10,26)&(20,23)};
(0,22)*+[o]{}="A";(20,22)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,17)&(10,14)&(20,17)};
\end{xy}
円柱を展開すると、円が \( 2 \) 枚、長方形が \( 1 \) 枚になる。
\begin{xy}
{(0,0) \ar @{-}(0,20)},
{(40,0) \ar @{-}(40,20)},
{(0,0) \ar @{-}(40,0)},
{(0,20) \ar @{-}(40,20)},
(10,30) *\cir<10mm>{},
(10,-10) *\cir<10mm>{},
{(0,30) \ar @{.}(10,30)},
(6,32)*{3}="A",
{(0,-10) \ar @{.}(10,-10)},
(6,-8)*{3}="A",
(37,10)*{6}="A",
(20,3)*{6 \pi}="A",
\end{xy}
円の円周と、長方形の横の辺が、等しくなっている。
表面積は、\( (3 \times 3 \times \pi) \times 2 + (6 \times 6 \pi) = 54 \pi \) になる。
角錐の表面積
\begin{xy}
(0,25)*{正４角錐}="A",
(10,-1)*{3}="A",
(-2,-3)*{4}="A",
{(-8,4) \ar @{-}(8,4)},
{(-8,4) \ar @{-}(-8,-8)},
{(8,-8) \ar @{-}(8,4)},
{(-8,-8) \ar @{-}(8,-8)},
{(-8,-8) \ar @{-}(0,15)},
{(8,-8) \ar @{-}(0,15)},
{(-8,4) \ar @{-}(0,15)},
{(8,4) \ar @{-}(0,15)},
{(0,-8) \ar @{.}(0,15)},
{(2,-6) \ar @{-}(0,-6)},
{(2,-6) \ar @{-}(2,-8)},
\end{xy}
正４角錐を展開すると、底面に正方形が \( 1 \) 枚、側面の３角形が \( 4 \) 枚になる。
\begin{xy}
(8,0)*{3}="A",
(-2,10)*{4}="A",
{(6,6) \ar @{-}(-6,6)},
{(-6,6) \ar @{-}(-6,-6)},
{(-6,-6) \ar @{-}(6,-6)},
{(6,-6) \ar @{-}(6,6)},
{(-6,6) \ar @{-}(-20,0)},
{(-6,-6) \ar @{-}(-20,0)},
{(6,6) \ar @{-}(20,0)},
{(6,-6) \ar @{-}(20,0)},
{(6,6) \ar @{-}(0,20)},
{(-6,6) \ar @{-}(0,20)},
{(6,-6) \ar @{-}(0,-20)},
{(-6,-6) \ar @{-}(0,-20)},
{(0,6) \ar @{.}(0,20)},
{(0,8) \ar @{-}(2,8)},
{(2,6) \ar @{-}(2,8)},
\end{xy}
表面積は、\( (3 \times 3) + (3 \times 4 \div 2)\times 4 = 33 \) になる。
円錐の表面積
\begin{xy}
(10,30)*{円錐}="A",
(18,12)*{9}="A",
(7,2)*{3}="A",
(0,-2)*+[o]{}="A";(20,-2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(10,6)&(20,3)};
(0,2)*+[o]{}="A";(20,2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-3)&(10,-6)&(20,-3)};
{(0,0) \ar @{-}(10,25)},
{(20,0) \ar @{-}(10,25)},
{(10,0) \ar @{.}(0,0)},
\end{xy}
円錐を展開すると、底面に円が\( 1 \) 枚、側面がおうぎ形 \( 1 \) 枚になる。
\begin{xy}
(19.5,17)*+[o]{}="A";(-20,17)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,33)};
{(0,0) \ar @{-}(18,18.5)},
{(0,0) \ar @{-}(-18,18.5)},
(0,0) *\cir<6mm>{ur_dr},
(12,9)*{9}="A",
(0,36) *\cir<10mm>{},
(1,9)*{120^\circ}="A",
{(0,36) \ar @{.}(-10,36)},
(-5,39)*{3}="A",
\end{xy}
円錐の母線は、おうぎ形の半径になっている。
表面積は、\( (3 \times 3 \times \pi) + (9 \times 9 \times \pi \times \large \frac{120}{360}) \normalsize = 36 \pi \) になる。
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