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>I立体の体積

柱体の体積

柱体の体積は、底面積 \( \times \) 高さだ。

例えば、以下の4角柱の底面積は \( 3 \times 4 = 12 \) で、高さは \( 6 \) だ。

したがって、4角柱の体積は \( 12 \times 6 = 72 \) だ。

\begin{xy} (-8,4)*{3}="A", (14,4)*{4}="A", (26,25)*{6}="A", {(0,0) \ar @{-}(24,12)}, {(0,0) \ar @{-}(-12,12)}, {(12,24) \ar @{-}(-12,12)}, {(12,24) \ar @{-}(24,12)}, {(0,30) \ar @{-}(24,42)}, {(0,30) \ar @{-}(-12,42)}, {(12,54) \ar @{-}(-12,42)}, {(12,54) \ar @{-}(24,42)}, {(0,0) \ar @{-}(0,30)}, {(24,12) \ar @{-}(24,42)}, {(-12,12) \ar @{-}(-12,42)}, {(12,24) \ar @{.}(12,54)}, \end{xy}

<例題 \( \Large 1 \) > 以下の円柱の体積を求めなさい。

\begin{xy} (42,14)*{6}="A", (30,3)*{4}="A", {(0,0) \ar @{-}(0,30)}, {(40,0) \ar @{-}(40,30)}, (0,-2)*+[o]{}="A";(40,-2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{.} (0,4)&(20,10)&(40,4)}; (0,2)*+[o]{}="A";(40,2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-4)&(20,-10)&(40,-4)}; (0,28)*+[o]{}="A";(40,28)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,34)&(20,40)&(40,34)}; (0,32)*+[o]{}="A";(40,32)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,26)&(20,20)&(40,26)}; {(20,0) \ar @{.}(40,0)}, \end{xy}

<解答 \( \Large 1 \) >
底面積は \( 4 \times 4 \times \pi = 16\pi \) で、高さは \( 6 \) だ。
したがって、円柱の体積は \( 16\pi \times 6 = 96\pi \) だ。

錐体の体積

錐体の体積は、底面積 \( \times \) 高さ \( \times \Large \frac{1}{3} \) だ。

例えば、以下の4角錐の底面積は \( 3 \times 4 = 12 \) で、高さは \( 6 \) だ。

したがって、4角柱の体積は \( 12 \times 6 \times \Large \frac{1}{3} \normalsize = 24 \) だ。

\begin{xy} (-8,4)*{3}="A", (14,4)*{4}="A", (26,25)*{6}="A", {(0,0) \ar @{-}(24,12)}, {(0,0) \ar @{-}(-12,12)}, {(12,24) \ar @{-}(-12,12)}, {(12,24) \ar @{-}(24,12)}, {(0,0) \ar @{-}(24,42)}, {(24,12) \ar @{-}(24,42)}, {(-12,12) \ar @{-}(24,42)}, {(12,24) \ar @{.}(24,42)}, {(24,16) \ar @{-}(20,14)}, {(20,14) \ar @{-}(20,10)}, \end{xy}

<例題 \( \Large 2 \) > 以下の円錐の体積を求めなさい。

\begin{xy} (22,14)*{6}="A", (30,2)*{4}="A", {(20,0) \ar @{.}(20,30)}, {(0,0) \ar @{-}(20,30)}, {(40,0) \ar @{-}(20,30)}, (0,-2)*+[o]{}="A";(40,-2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{.} (0,2)&(20,7)&(40,2)}; (0,2)*+[o]{}="A";(40,2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-4)&(20,-8)&(40,-4)}; {(20,0) \ar @{.}(40,0)}, \end{xy}

<解答 \( \Large 2 \) >
底面積は \( 4 \times 4 \times \pi = 16\pi \) で、高さは \( 6 \) だ。
したがって、円錐の体積は \( 16\pi \times 6 \Large \times \frac{1}{3} \normalsize = 32\pi \) だ。

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