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球
球の半径を \( \Large r \) とすると
球の表面積は、\( \Large 4 \times \pi \times r^2 \Large \)
球の体積は、\( \huge \frac{4}{3} \Large \times \pi \times r^3 \) となる。
例えば、以下の球の半径は \( \Large r=6 \) なので
\begin{xy}
(29,2)*{6}="A",
(20,0) *\cir<20mm>{},
{(20,0) \ar @{.}(40,0)},
(0,-2)*+[o]{}="A";(40,-2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(20,8)&(40,3)};
(0,2)*+[o]{}="A";(40,2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-4)&(20,-8)&(40,-4)};
\end{xy}
表面積は、\( \Large 4 \times \pi \times 6^2 = 144\pi \)
体積は、\( \huge \frac{4}{3} \Large \times \pi \times 6^3 = 288\pi \)となる。
＜例題 \( \Large 1 \) ＞ 半径 \( r=9 \) の球がある。表面積と体積を、答えなさい。
球と円柱
球が、円柱に、ぴったりと入っている。
この立体は、アルキメデスの球と円柱、とも呼ばれる。
アルキメデスは立体の表面積と体積について、考えた。
\begin{xy}
(29,2)*{r}="A",
(20,0) *\cir<20mm>{},
{(20,0) \ar @{.}(40,0)},
(0,-2)*+[o]{}="A";(40,-2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(20,8)&(40,3)};
(0,2)*+[o]{}="A";(40,2)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-4)&(20,-8)&(40,-4)};
(0,18)*+[o]{}="A";(40,18)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,23)&(20,28)&(40,23)};
(0,22)*+[o]{}="A";(40,22)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,16)&(20,12)&(40,16)};
(0,-22)*+[o]{}="A";(40,-22)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{.} (0,-17)&(20,-12)&(40,-17)};
(0,-18)*+[o]{}="A";(40,-18)*+{}="B",
"A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-24)&(20,-28)&(40,-24)};
{(0,-20) \ar @{-}(0,20)},
{(40,-20) \ar @{-}(40,20)},
\end{xy}
球の半径を \( \Large r \) とすると
球の表面積は、\( \Large 4 \times \pi \times r^2 \Large =4\pi r^2\) となる。
一方、円柱の底面積は \( \Large r^2 \times \pi \) 、高さは \( \Large 2r \)
円柱の表面積は \( \Large 2\times r^2 \times \pi \ + 2 \times r \times \pi \times 2r =6\pi r^2 \)
円の表面積：円柱の表面積は \( \Large 4\pi : 6\pi r^2 = 2 : 3 \)
球の体積は、\( \huge \frac{4}{3} \Large \times \pi \times r^3 \) となる。
一方、円柱の底面積は \( \Large r^2 \times \pi \) 、高さは \( \Large 2r \)
円柱の体積は \( \Large r^2 \times \pi \times 2r =8\pi r^3 \)
円の体積：円柱の体積は \( \huge \frac{4}{3} \Large \pi r^3 : 2\pi r^3 = 2 : 3 \)
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