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球の半径を \( \Large r \) とすると

球の表面積は、\( \Large 4 \times \pi \times r^2 \Large \)

球の体積は、\( \huge \frac{4}{3} \Large \times \pi \times r^3 \) となる。


例えば、以下の球の半径は \( \Large r=6 \) なので

\begin{xy} (29,2)*{6}="A", (20,0) *\cir<20mm>{}, {(20,0) \ar @{.}(40,0)}, (0,-2)*+[o]{}="A";(40,-2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(20,8)&(40,3)}; (0,2)*+[o]{}="A";(40,2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-4)&(20,-8)&(40,-4)}; \end{xy}

表面積は、\( \Large 4 \times \pi \times 6^2 = 144\pi \)

体積は、\( \huge \frac{4}{3} \Large \times \pi \times 6^3 = 288\pi \)となる。



<例題 \( \Large 1 \) > 半径 \( r=9 \) の球がある。表面積と体積を、答えなさい。

<解答 \( \Large 1 \) >
(1)\( 324\pi \) (2)\( 972\pi \)

球と円柱

球が、円柱に、ぴったりと入っている。

この立体は、アルキメデスの球と円柱、とも呼ばれる。

アルキメデスは立体の表面積と体積について、考えた。

\begin{xy} (29,2)*{r}="A", (20,0) *\cir<20mm>{}, {(20,0) \ar @{.}(40,0)}, (0,-2)*+[o]{}="A";(40,-2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{.} (0,3)&(20,8)&(40,3)}; (0,2)*+[o]{}="A";(40,2)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-4)&(20,-8)&(40,-4)}; (0,18)*+[o]{}="A";(40,18)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,23)&(20,28)&(40,23)}; (0,22)*+[o]{}="A";(40,22)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,16)&(20,12)&(40,16)}; (0,-22)*+[o]{}="A";(40,-22)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{.} (0,-17)&(20,-12)&(40,-17)}; (0,-18)*+[o]{}="A";(40,-18)*+{}="B", "A";"B" **\crv{~**@{-} (0,-24)&(20,-28)&(40,-24)}; {(0,-20) \ar @{-}(0,20)}, {(40,-20) \ar @{-}(40,20)}, \end{xy}

球の半径を \( \Large r \) とすると

球の表面積は、\( \Large 4 \times \pi \times r^2 \Large =4\pi r^2\) となる。

一方、円柱の底面積は \( \Large r^2 \times \pi \) 、高さは \( \Large 2r \)

円柱の表面積は \( \Large 2\times r^2 \times \pi \ + 2 \times r \times \pi \times 2r =6\pi r^2 \)

円の表面積:円柱の表面積は \( \Large 4\pi : 6\pi r^2 = 2 : 3 \)



球の体積は、\( \huge \frac{4}{3} \Large \times \pi \times r^3 \) となる。

一方、円柱の底面積は \( \Large r^2 \times \pi \) 、高さは \( \Large 2r \)

円柱の体積は \( \Large r^2 \times \pi \times 2r =8\pi r^3 \)

円の体積:円柱の体積は \( \huge \frac{4}{3} \Large \pi r^3 : 2\pi r^3 = 2 : 3 \)

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