スポンサー広告

数学の楽園
＞中学１年
＞立体図形
＞Ｌ立体の切断

立体の切断

立体の切断は、３つの手順を押さえよう。

手順１は平面の点を結ぶことだ。

手順２は平行な面に平行な線を引くことだ。

手順３は切断線を延長することだ。

手順１　平面の点を結ぶ

同じ平面にある点を結んで、切断線にしよう。

例えば、正４面体を点Ａ、点Ｂ、点Ｃで切断すると

\begin{xy} (0,45)*{正４面体}="A", (0,12)*{\bullet}="A", (10,21)*{\bullet}="A", (-10,21)*{\bullet}="A", (3,9)*{C}="A", (12,25)*{B}="A", (-12,25)*{A}="A", {(0,0) \ar @{-}(15,15)}, {(0,0) \ar @{-}(-15,15)}, {(15,15) \ar @{.}(-15,15)}, {(0,35) \ar @{-}(-15,15)}, {(0,35) \ar @{-}(15,15)}, {(0,35) \ar @{-}(0,0)}, \end{xy}

同じ平面にある点Ａと点Ｂ、点Ａと点Ｃ、点Ｂと点Ｃを、結んで

同じ平面にある線分ＡＢ、線分ＡＣ、線分ＢＣができる。

\begin{xy} (0,45)*{手順１完了}="A", (0,12)*{\bullet}="A", (10,21)*{\bullet}="A", (-10,21)*{\bullet}="A", (3,9)*{C}="A", (12,25)*{B}="A", (-12,25)*{A}="A", {(0,0) \ar @{-}(15,15)}, {(0,0) \ar @{-}(-15,15)}, {(15,15) \ar @{.}(-15,15)}, {(0,35) \ar @{-}(-15,15)}, {(0,35) \ar @{-}(15,15)}, {(0,35) \ar @{-}(0,0)}, {(0,12) \ar @{-}(10,21)}, {(-10,21) \ar @{.}(10,21)}, {(-10,21) \ar @{-}(0,12)}, \end{xy}

切断面の３角形ＡＢＣが完成したら、正４面体を切断する。

\begin{xy} (0,45)*{切断完了}="A", (0,12)*{\bullet}="A", (10,21)*{\bullet}="A", (-10,21)*{\bullet}="A", (3,9)*{C}="A", (12,25)*{B}="A", (-12,25)*{A}="A", {(0,0) \ar @{-}(15,15)}, {(0,0) \ar @{-}(-15,15)}, {(15,15) \ar @{.}(-15,15)}, {(-15,15) \ar @{-}(-10,21)}, {(15,15) \ar @{-}(10,21)}, {(0,12) \ar @{-}(0,0)}, {(0,12) \ar @{-}(10,21)}, {(-10,21) \ar @{-}(10,21)}, {(-10,21) \ar @{-}(0,12)}, \end{xy}

手順２　平行な面に平行線を引く

手順１を終えても、まだ切断面が完成していなかったら、手順２をしよう。

例えば、立方体を点Ａ、点Ｂ、点Ｃで切断してみよう。手順１はすでに終えてあるが、まだ切断面が完成していない。

\begin{xy} (0,40)*{立方体}="A", (0,32)*{手順１まで完了}="A", (9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (-9,-12)*{\bullet}="A", (-13,4)*{A}="A", (-13,-14)*{B}="A", (13,20)*{C}="A", {(9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(-9,-12)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

手順２では、平行な面に平行線を引く。

例えば、線分ＡＢと平行な面に、線分ＣＤを引く。

\begin{xy} (0,32)*{手順２}="A", (9,0)*{\bullet}="A", (9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (-9,-12)*{\bullet}="A", (-13,4)*{A}="A", (-13,-14)*{B}="A", (13,20)*{C}="A", (13,2)*{D}="A", {(9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(-9,-12)}, {(9,0) \ar @{.}(9,18)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

点Ｂと点Ｄは同じ平面にあるので、線分ＢＤを結ぶ。

\begin{xy} (0,32)*{ふたたび手順１}="A", (9,0)*{\bullet}="A", (9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (-9,-12)*{\bullet}="A", (-13,4)*{A}="A", (-13,-14)*{B}="A", (13,20)*{C}="A", (13,2)*{D}="A", {(9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(-9,-12)}, {(9,0) \ar @{.}(9,18)}, {(9,0) \ar @{.}(-9,-12)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

切断面の４角形ＡＢＤＣが完成したので、立方体を切断する。

\begin{xy} (0,32)*{切断完了}="A", (9,0)*{\bullet}="A", (9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (-9,-12)*{\bullet}="A", (-13,4)*{A}="A", (-13,-14)*{B}="A", (13,20)*{C}="A", (13,2)*{D}="A", {(9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(-9,-12)}, {(9,0) \ar @{-}(9,18)}, {(9,0) \ar @{-}(-9,-12)}, {(-18,12) \ar @{-}(-9,6)}, {(0,24) \ar @{-}(9,18)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(-9,-12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(9,0)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

手順３　切断線を延長する

手順１と手順２を終えても、まだ切断面が完成していなかったら、手順３をしよう。

例えば、立方体を点Ｅ、点Ｆ、点Ｇで切断してみよう。手順１はすでに終えてあるが、まだ切断面が完成していない。

\begin{xy} (0,40)*{立方体}="A", (0,32)*{手順１まで完了}="A", (-9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (0,-9)*{\bullet}="A", (-13,4)*{F}="A", (-4,-11)*{G}="A", (-13,20)*{E}="A", {(-9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(0,-9)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, \end{xy}

切断線ＦＧを延長して、底面との交点をＫとする。

\begin{xy} (0,32)*{手順３}="A", (-9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (0,-9)*{\bullet}="A", (-13,4)*{F}="A", (-4,-11)*{G}="A", (-13,20)*{E}="A", {(-9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(9,-24)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(-18,-30) \ar @{-}(18,-6)}, {(18,-30) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(18,-6) \ar @{-}(36,-18)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, (9,-24)*{\bullet}="A", (6,-27)*{K}="A", \end{xy}

線分ＥＦと平行な線分を、点Ｋから引く。立方体との交点を点Ｈ、点Ｉとする。

\begin{xy} (0,32)*{手順２}="A", (-9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (0,-9)*{\bullet}="A", (-13,4)*{F}="A", (-4,-11)*{G}="A", (-13,20)*{E}="A", {(-9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(9,-24)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(-18,-30) \ar @{-}(18,-6)}, {(18,-30) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(18,-6) \ar @{-}(36,-18)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, (9,-24)*{\bullet}="A", (6,-27)*{K}="A", (9,0)*{\bullet}="A", (12,2)*{I}="A", (9,-12)*{\bullet}="A", (12,-14)*{H}="A", {(9,-24) \ar @{-}(9,0)}, \end{xy}

線分ＦＧと平行な線分ＩＪを引く。

\begin{xy} (0,32)*{ふたたび手順２}="A", (-9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (0,-9)*{\bullet}="A", (-13,4)*{F}="A", (-4,-11)*{G}="A", (-13,20)*{E}="A", {(-9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(9,-24)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(-18,-30) \ar @{-}(18,-6)}, {(18,-30) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(18,-6) \ar @{-}(36,-18)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, (9,-24)*{\bullet}="A", (6,-27)*{K}="A", (9,0)*{\bullet}="A", (12,2)*{I}="A", (9,-12)*{\bullet}="A", (12,-14)*{H}="A", {(9,-24) \ar @{-}(9,0)}, (0,15)*{\bullet}="A", (3,15)*{J}="A", {(9,0) \ar @{.}(0,15)}, \end{xy}

同一平面にある線分ＧＨと線分ＪＥを引く。

\begin{xy} (0,32)*{ふたたび手順１}="A", (-9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (0,-9)*{\bullet}="A", (-13,4)*{F}="A", (-4,-11)*{G}="A", (-13,20)*{E}="A", {(-9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(9,-24)}, {(0,0) \ar @{-}(18,12)}, {(0,0) \ar @{-}(0,-18)}, {(0,0) \ar @{-}(-18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(18,12)}, {(0,24) \ar @{-}(-18,12)}, {(18,12) \ar @{-}(18,-6)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(-18,-30) \ar @{-}(18,-6)}, {(18,-30) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(18,-6) \ar @{-}(36,-18)}, {(0,6) \ar @{.}(0,24)}, (9,-24)*{\bullet}="A", (6,-27)*{K}="A", (9,0)*{\bullet}="A", (12,2)*{I}="A", (9,-12)*{\bullet}="A", (12,-13)*{H}="A", {(9,-24) \ar @{-}(9,0)}, (0,15)*{\bullet}="A", (3,15)*{J}="A", {(9,0) \ar @{.}(0,15)}, {(-9,18) \ar @{.}(0,15)}, {(0,-9) \ar @{-}(9,-12)}, \end{xy}

切断面の６角形ＥＦＧＨＩＪが完成したので、立方体を切断する。

\begin{xy} (0,32)*{切断完了}="A", (-9,18)*{\bullet}="A", (-9,6)*{\bullet}="A", (0,-9)*{\bullet}="A", (-13,4)*{F}="A", (-4,-11)*{G}="A", (-13,20)*{E}="A", {(-9,18) \ar @{-}(-9,6)}, {(-9,6) \ar @{-}(0,-9)}, {(0,-18) \ar @{-}(0,-9)}, {(-9,6) \ar @{-}(-18,12)}, {(-9,18) \ar @{-}(-18,12)}, {(-18,12) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(-18,-6)}, {(0,-18) \ar @{-}(9,-12)}, {(0,6) \ar @{.}(9,0)}, {(0,6) \ar @{.}(-18,-6)}, {(0,6) \ar @{.}(0,15)}, (9,0)*{\bullet}="A", (12,2)*{I}="A", (9,-12)*{\bullet}="A", (12,-13)*{H}="A", {(9,-12) \ar @{-}(9,0)}, (0,15)*{\bullet}="A", (3,15)*{J}="A", {(9,0) \ar @{-}(0,15)}, {(-9,18) \ar @{-}(0,15)}, {(0,-9) \ar @{-}(9,-12)}, \end{xy}

次へ

中学１年　データ分布（資料の整理活用）

前へ

Ａ辺と辺
Ｂ辺と面
Ｃ面と面
Ｄ柱体と錐体
Ｅ正多面体
Ｆ投影図
Ｇ展開図
Ｈ立体の表面積
Ｉ立体の体積
Ｊ球
Ｋ回転体
講座一覧に戻る