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数学の楽園

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連立方程式の文章題（割合）

＜例題 \( \Large 1 \) ＞
ある山でキノコを収穫したところ、１月の収穫量は、エノキとナメコを合わせて３００本だった。２月の収穫量は、エノキが２０％減り、ナメコが５０％増えて、エノキよりもナメコの方が、２２０本多くなった。
１月に、エノキとナメコは、それぞれ何本収穫したか。連立方程式を立てて、答えなさい。

＜解説 \( \Large 1 \) ＞

１月の、エノキの本数 \( \large x \) 本、ナメコの本数を \( \large y \) 本とおく。

１月は、エノキとナメコを合わせて３００本なので
\( \large x+y=300 \)

また、２月に収穫したエノキは \( \,\,\, \large ( \Large \frac{100-20}{100} \normalsize \times \large x) \,\,\, \) 本で、 ２月に収穫したナメコは \( \,\,\, \large ( \Large \frac{100+50}{100} \normalsize \times \large y) \,\,\, \) 本になる。

エノキよりも、ナメコの方が、２２０本多いので
\( \large ( \Large \frac{100-20}{100} \normalsize \times \large x) \normalsize = \large ( \Large \frac{100+50}{100} \normalsize \times \large y) \normalsize -220 \)

２本の式ができたので、連立して
$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large x+y=300\\ \Large \frac{80}{100} \normalsize \large x \normalsize = \Large \frac{150}{100} \normalsize \large y \normalsize -220 \end{array} \right. $

あとは連立方程式を解いて
\( (x \, , \, y) = (100 \, , \, 200) \)

＜解答 \( \Large 1 \) ＞

１月の収穫量は、エノキが１００本、ナメコが２００本

連立方程式の文章題（食塩水）

＜例題 \( \Large 2 \) ＞
２％の食塩水と、１０％の食塩水が、溜めてある。２種類の食塩水を混ぜて、５％で２００ｇの食塩水を調合したい。
２％の食塩水と５％の食塩水は、それぞれ何ｇずつ調合すればよいか。連立方程式を立てて、答えなさい。

＜解説 \( \Large 2 \) ＞

２％の食塩水を \( \large x \) ｇ、5％の食塩水を \( \large y \) ｇとおく。

食塩水は合わせて２００ｇになるので
\( \large x+y=200 \)

また、２％の食塩水 \( \large x \) ｇのなかには、食塩が \( \,\, \large ( \Large \frac{2}{100} \normalsize \times \large x) \, \) ｇ含まれている。
１０％の食塩水 \( \large y \) ｇのなかには、食塩が \( \,\, \large ( \Large \frac{10}{100} \normalsize \times \large y) \, \) ｇ含まれている。
調合すると、５％の食塩水２００ｇのなかには、食塩が \( \,\, \large ( \Large \frac{5}{100} \normalsize \times 200 \large ) \normalsize = 10 \, \) ｇ含まれている。

調合する前と、調合した後では、食塩の量は変わらないので
\( \large ( \Large \frac{2}{100} \normalsize \large x) \normalsize + \large ( \Large \frac{10}{100} \normalsize \large y)\normalsize = 10 \)

２本の式ができたので、連立して
$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large x+y=200\\ \large ( \Large \frac{2}{100} \normalsize \large x) \normalsize + \large ( \Large \frac{10}{100} \normalsize \large y)\normalsize = 10 \end{array} \right. $

あとは連立方程式を解いて
\( (x \, , \, y) = (125 \, , \, 75) \)

＜解答 \( \Large 2 \) ＞

２％の食塩水１２５ｇと、１０％の食塩水７５ｇを、調合する。

連立方程式の文章題（数の表現）

＜例題 \( \Large 3 \) ＞
２けたの自然数がある。１０の位の数と、１の位の数を足すと、９になる。また、１０の位と１の位を入れ替えると、もとの自然数よりも、４５大きくなる。
もとの２けたの自然数を求めなさい。

＜解説 \( \Large 3 \) ＞

もとの自然数の、１０の位の数を \( \large x \) 、１の位の数を \( \large y \) とおく。

１０の位の数と、１の位の数を足すと、９になるので
\( \large x+y \normalsize = \large 9 \)

また、もとの自然数は \( \large 10x+y \) と表せる。
１０の位と１の位を入れ替えた自然数は \( \large 10y+x \) と表せる。

もとの自然数よりも、入れ替えた自然数は４５大きくなるので
\( (\large 10x+y ) \normalsize + \large 45 \normalsize = (\large 10y+x \normalsize ) \)

２本の式ができたので、連立して
$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large x+y \normalsize = \large 9\\ \large 10x+y \normalsize + \large 45 \normalsize = \large 10y+x \end{array} \right. $

あとは連立方程式を解いて
\( (x \, , \, y) = (2 \, , \, 7) \)

＜解答 \( \Large 3 \) ＞

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