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>A 1次関数の式

1次関数の式

関数のうち、\( \Large y=ax+b \) となる式を、1次関数(いちじかんすう)と呼ぶ。


例えば、入場料金が2000円で、1km当たり100円の料金が加算される道路を \( \Large x \) km走ると、料金は全部で \( \Large y \) 円となる場合を、考えてみよう。

\( \Large x \) が定まると、\( \Large y \) も定まるので、\( \Large x \) と \( \Large y \) は関数になる。

そこで、\( \Large x \) と \( \Large y \) を式で表してみると、\( \Large y=100x+2000 \) の式になるので、1次関数だとわかる。



<例題 \( \Large 1 \) >以下の文章から、\( \large x \) と \( \large y \) の1次関数の式を、書きなさい。

(1)   1個80円のおにぎりを \( \large x \) 個買い、500円玉で支払うと、おつりは \( \large y \) 円になる。

(2)   ツボに30gの食塩があり、そこへ10%の食塩水 \( \large x \) gを注ぎこんだ。水がすべて乾くと、ツボには食塩が \( \large y \) g残る。

<解答 \( \Large 1 \) >
(1) \( y=-80x+500 \)     (2)\( y= \large \frac{10}{100} \normalsize x + 30 \)

変化の割合

\( \Large x \) の増加量に対して、\( \Large y \) の増加量を、変化の割合と呼ぶ。

\begin{xy} (1,0)*{変域=}="O", {(10,0) \ar @{-}(33,0)}, (18,4)*{\large y \normalsize の増加量}="O", (18,-4)*{\large x \normalsize の増加量}="O", \end{xy}

例えば、1次関数 \( \Large y=2x+1 \) について、\( \Large x \) が \( \Large -3 \) から \( \Large +3 \) まで増加するとき、変化の割合を求めてみよう。

\( \Large x \) の増加量は、\( \Large +3-(-3)=+6 \) となる。


続いて、

\( \Large x=-3 \) のとき、 \( \Large y=2 \times (-3) +1=-5 \)


\( \Large x=+3 \) のとき、 \( \Large y=2 \times (+3) +1=7 \)


なので、\( \Large y \) の増加量は \( \Large +7-(-5)=+12 \) となる。



以上より、変化の割合は、\( \large \frac{ \huge +12}{ \huge +6} \Large =2 \) となる。



1次関数 \( \Large y=ax+b \) の変化の割合は、\( \Large a \) と一致する。

\begin{xy} (5,0)*{\huge y=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x+b}="O", \ar(8,18) *{変化の割合}; (2,0) *+[Fo]{\huge a}, \end{xy}

<例題 \( \Large 2 \) >1次関数 \( y=-3x+5 \) について、\( x \) が \( -1 \) から \( +1 \) まで増加するとき、変化の割合を求めなさい。

<解説 \( \Large 2 \) >

\( x \) の増加量は、\( +1-(-1)=+2 \) となる。


続いて、

\( x=-1 \) のとき、 \( y=-3 \times (-1) +5=+8 \)


\( x=+1 \) のとき、 \( y=-3 \times (+1) +5=+2 \)


なので、\( y \) の増加量は \( +2-(+8)=-6 \) となる。



以上より、変化の割合は、\( \frac{ \large -6}{ \large +2} =-3 \) となる。

<解答 \( \Large 2 \) >
\( -3 \)

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