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>F 直線の交点

1次関数のグラフの交点

1次関数のグラフの交点は、連立方程式の解になる。

\begin{xy} \xymatrix { *++[][F-]{1次関数のグラフの交点} \ar[r] & *++[][F-]{連立方程式の解} } \end{xy}

例えば、1次関数 \( \Large y=2x-3 \) と、\( \Large y=-x+2 \) のグラフの、交点 \( \large A \) の座標を、求めてみよう。

グラフは、2本の直線になり、交点 \( \large A \) ができる。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,-30) \ar @{->}(16,30)}, {(24,2) \ar @{-}(24,-2)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(14,-24) \ar @{-}(18,-24)}, {(14,-18) \ar @{-}(18,-18)}, {(14,-12) \ar @{-}(18,-12)}, {(14,-6) \ar @{-}(18,-6)}, {(14,6) \ar @{-}(18,6)}, {(14,12) \ar @{-}(18,12)}, {(14,18) \ar @{-}(18,18)}, {(14,24) \ar @{-}(18,24)}, {(8,-32) \ar @{-}(36,18)}, (0,-18)*{y=2x-3}="A", {(2,24) \ar @{-}(36,-5)}, (0,12)*{y=-x+1}="A", (27.4,2.5)*{ \bullet}="O", (40,6)*{A (\,\,\,\,\, , \,\,\,\,)}="O", \end{xy}

交点 \( \large A \) の座標を求めるには、2本の1次関数のグラフを、2本の連立方程式に直して、計算すればよい。

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large y=2x-3 \,\,\, \cdots 式①\\ \large y=-x+2 \end{array} \right. $

上式を、下式に代入して

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large 2x-3=-x+2 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large 2x+x=2+3 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large 3x=5 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large x=\frac{\Large 5}{\Large 3} \\ \end{array} \right. $


文字 \( \large x \) の値がわかったので、式①に、文字 \( \large x \) の値を代入して

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large y=2 \times \frac{\Large 5}{\Large 3}-3 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} \large y=\frac{\Large 1}{\Large 3} \\ \end{array} \right. $


連立方程式の解は、\( \Large (x \, , \, y) = (\frac{\Large 5}{\Large 3} \, , \, \frac{\Large 1}{\Large 3}) \) とわかり、

1次関数の交点の座標は、\( \Large (x \, , \, y) = (\frac{\Large 5}{\Large 3} \, , \, \frac{\Large 1}{\Large 3}) \) となる。

\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,-30) \ar @{->}(16,30)}, {(24,2) \ar @{-}(24,-2)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(14,-24) \ar @{-}(18,-24)}, {(14,-18) \ar @{-}(18,-18)}, {(14,-12) \ar @{-}(18,-12)}, {(14,-6) \ar @{-}(18,-6)}, {(14,6) \ar @{-}(18,6)}, {(14,12) \ar @{-}(18,12)}, {(14,18) \ar @{-}(18,18)}, {(14,24) \ar @{-}(18,24)}, {(8,-32) \ar @{-}(36,18)}, (0,-18)*{y=2x-3}="A", {(2,24) \ar @{-}(36,-5)}, (0,12)*{y=-x+1}="A", (27.4,2.5)*{ \bullet}="O", (41,7)*{A (\frac{\Large 5}{\Large 3} , \frac{\Large 1}{\Large 3})}="O", \end{xy}


<例題 \( \Large 1 \) >1次関数 \( y=2x+1 \) と、\( y=-x-2 \) のグラフの交点 \( B \) の座標を、求めなさい。

<解説 \( \Large 1 \) >

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} y=2x+1 \,\,\, \cdots 式①\\ y=-x-2 \end{array} \right. $

上式を、下式に代入して

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} 2x+1=-x-2 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} 2x+x=-2-1 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} 3x=-3 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} x=-1 \\ \end{array} \right. $


文字 \( \large x \) の値がわかったので、式①に、文字 \( \large x \) の値を代入して

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} y=2 \times (-1)+1 \\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{@{}1} y=-1 \\ \end{array} \right. $


連立方程式の解は、\( \large (x \, , \, y) = (-1 \, , \, -1 ) \) とわかり、

1次関数の交点 \( B \) の座標は、\( \large (x \, , \, y) = (-1 \, , \, -1 ) \) となる。

<解答 \( \Large 1 \) >
\begin{xy} {(0,0) \ar @{->}(42,0)}, {(8,2) \ar @{-}(8,-2)}, {(16,-30) \ar @{->}(16,30)}, {(24,2) \ar @{-}(24,-2)}, {(30,2) \ar @{-}(30,-2)}, {(36,2) \ar @{-}(36,-2)}, {(14,-24) \ar @{-}(18,-24)}, {(14,-18) \ar @{-}(18,-18)}, {(14,-12) \ar @{-}(18,-12)}, {(14,-6) \ar @{-}(18,-6)}, {(14,6) \ar @{-}(18,6)}, {(14,12) \ar @{-}(18,12)}, {(14,18) \ar @{-}(18,18)}, {(14,24) \ar @{-}(18,24)}, {(3,-14) \ar @{-}(27,24)}, (34,12)*{y=2x+1}="A", {(2,0) \ar @{-}(36,-29)}, (34,-13)*{y=-x-2}="A", (8,-5.5)*{ \bullet}="O", (9,-12)*{B}="O", (3,-20)*{(-1 , -1)}="O", \end{xy}

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