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１次関数のグラフの交点
１次関数のグラフの交点は、連立方程式の解になる。
\begin{xy}
\xymatrix {
*++[][F-]{１次関数のグラフの交点} \ar[r]
& *++[][F-]{連立方程式の解}
}
\end{xy}
例えば、１次関数 \( \Large y=2x-3 \) と、\( \Large y=-x+2 \) のグラフの、交点 \( \large A \) の座標を、求めてみよう。
グラフは、２本の直線になり、交点 \( \large A \) ができる。
\begin{xy}
{(0,0) \ar @{->}(42,0)},
{(8,2) \ar @{-}(8,-2)},
{(16,-30) \ar @{->}(16,30)},
{(24,2) \ar @{-}(24,-2)},
{(30,2) \ar @{-}(30,-2)},
{(36,2) \ar @{-}(36,-2)},
{(14,-24) \ar @{-}(18,-24)},
{(14,-18) \ar @{-}(18,-18)},
{(14,-12) \ar @{-}(18,-12)},
{(14,-6) \ar @{-}(18,-6)},
{(14,6) \ar @{-}(18,6)},
{(14,12) \ar @{-}(18,12)},
{(14,18) \ar @{-}(18,18)},
{(14,24) \ar @{-}(18,24)},
{(8,-32) \ar @{-}(36,18)},
(0,-18)*{y=2x-3}="A",
{(2,24) \ar @{-}(36,-5)},
(0,12)*{y=-x+1}="A",
(27.4,2.5)*{ \bullet}="O",
(40,6)*{A (\,\,\,\,\, , \,\,\,\,)}="O",
\end{xy}
交点 \( \large A \) の座標を求めるには、２本の１次関数のグラフを、２本の連立方程式に直して、計算すればよい。
$
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\large y=2x-3 \,\,\, \cdots 式①\\
\large y=-x+2
\end{array}
\right.
$
上式を、下式に代入して
$
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\large 2x-3=-x+2 \\
\end{array}
\right.
$
$
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\large 2x+x=2+3 \\
\end{array}
\right.
$
$
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\large 3x=5 \\
\end{array}
\right.
$
$
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\large x=\frac{\Large 5}{\Large 3} \\
\end{array}
\right.
$
文字 \( \large x \) の値がわかったので、式①に、文字 \( \large x \) の値を代入して
$
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\large y=2 \times \frac{\Large 5}{\Large 3}-3 \\
\end{array}
\right.
$
$
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\large y=\frac{\Large 1}{\Large 3} \\
\end{array}
\right.
$
連立方程式の解は、\( \Large (x \, , \, y) = (\frac{\Large 5}{\Large 3} \, , \, \frac{\Large 1}{\Large 3}) \) とわかり、
１次関数の交点の座標は、\( \Large (x \, , \, y) = (\frac{\Large 5}{\Large 3} \, , \, \frac{\Large 1}{\Large 3}) \) となる。
\begin{xy}
{(0,0) \ar @{->}(42,0)},
{(8,2) \ar @{-}(8,-2)},
{(16,-30) \ar @{->}(16,30)},
{(24,2) \ar @{-}(24,-2)},
{(30,2) \ar @{-}(30,-2)},
{(36,2) \ar @{-}(36,-2)},
{(14,-24) \ar @{-}(18,-24)},
{(14,-18) \ar @{-}(18,-18)},
{(14,-12) \ar @{-}(18,-12)},
{(14,-6) \ar @{-}(18,-6)},
{(14,6) \ar @{-}(18,6)},
{(14,12) \ar @{-}(18,12)},
{(14,18) \ar @{-}(18,18)},
{(14,24) \ar @{-}(18,24)},
{(8,-32) \ar @{-}(36,18)},
(0,-18)*{y=2x-3}="A",
{(2,24) \ar @{-}(36,-5)},
(0,12)*{y=-x+1}="A",
(27.4,2.5)*{ \bullet}="O",
(41,7)*{A (\frac{\Large 5}{\Large 3} , \frac{\Large 1}{\Large 3})}="O",
\end{xy}
＜例題 \( \Large 1 \) ＞１次関数 \( y=2x+1 \) と、\( y=-x-2 \) のグラフの交点 \( B \) の座標を、求めなさい。
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