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>D 3角形の内角と外角

3角形の内角

3角形の内角の和は、\(180^\circ \) になる。

例えば、3角形 \( ABC \) の内角 \( \angle A \,\,,\,\, \angle B \,\,,\,\, \angle C \) の和は、\(180^\circ \) になる。

\begin{xy} (2,-3)*{B}="A", (19,33)*{A}="A", (28,-3)*{C}="A", (25,-18)*{\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ}="A", {(0,0) \ar @{-}(30,0)}, {(0,0) \ar @{-}(20,30)}, {(30,0) \ar @{-}(20,30)}, (2.5,5)*{}="E"; (5,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(6,3)}; (16,25)*{}="E"; (22.5,25)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(19,22)}; (29,5)*{}="E"; (26,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(26,3)}; \end{xy}

3角形の外角

3角形 \( ABC \) において、辺 \( BC \) を延長すると、\( \angle C \) の隣に、\( \angle D \) ができる。

\( \angle C \) を内角と呼ぶのに対して、\( \angle D \) を外角(がいかく)と呼ぶ。

\begin{xy} (2,-3)*{B}="A", (19,33)*{A}="A", (28,-3)*{C}="A", (40,8)*{\angle D=外角}="A", {(0,0) \ar @{-}(45,0)}, {(0,0) \ar @{-}(20,30)}, {(30,0) \ar @{-}(20,30)}, (2.5,5)*{}="E"; (5,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(6,3)}; (16,25)*{}="E"; (22.5,25)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(19,22)}; (29,5)*{}="E"; (26,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(26,3)}; (28,4.5)*{}="E"; (34,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(32,6)}; \end{xy}

辺を延長すれば、内角の隣に、次々に外角ができる。

\begin{xy} (37,7)*{外角}="A", (7,-7)*{外角}="A", (10,31)*{外角}="A", {(0,0) \ar @{-}(45,0)}, {(-8,-12) \ar @{-}(20,30)}, {(30,0) \ar @{-}(16,42)}, (2.5,5)*{}="E"; (5,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(6,3)}; (-4,-5)*{}="E"; (5.5,0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(3,-5)}; (16,25)*{}="E"; (22.5,25)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(19,22)}; (16.5,24)*{}="E"; (19,35)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(13,31)}; (29,5)*{}="E"; (26,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(26,3)}; (28,4.5)*{}="E"; (34,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(32,6)}; \end{xy}

外角の定理

外角の角度は、隣りあわない2つの内角の和と、等しくなる。

例えば、3角形 \( ABC \) において、外角 \( \angle D \) と隣りあわない内角は、\( \angle A \) と \( \angle B \) だ。

したがって、\( \angle D = \angle A + \angle B \) となる。

\begin{xy} (2,-3)*{B}="A", (10,4)*{67^\circ}="A", (19,33)*{A}="A", (19,20)*{42^\circ}="A", (28,-3)*{C}="A", (50,8)*{\angle D = 42^\circ + 67^\circ}="A", (20,-12)*{\angle D = \angle A + \angle B}="A", {(0,0) \ar @{-}(45,0)}, {(0,0) \ar @{-}(20,30)}, {(30,0) \ar @{-}(20,30)}, (2.5,5)*{}="E"; (5,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(6,3)}; (16,25)*{}="E"; (22.5,25)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(19,22)}; (29,5)*{}="E"; (26,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(26,3)}; (28,4.5)*{}="E"; (34,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(32,6)}; \end{xy}

このとき

\( \angle C + \angle D = 180^\circ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1直線に並ぶ) \)

\( \angle C + (\angle A + \angle B) = 180^\circ \,\, (3角形の内角の和)  \)

に注目しよう。



<例題 \( \Large 1 \) >以下の図で、外角 \( \large x \) の角度を、求めなさい。

(1) \begin{xy} (24,4)*{47^\circ}="A", (9,4)*{60^\circ}="A", (13,31)*{x}="A", {(0,0) \ar @{-}(45,0)}, {(-8,-12) \ar @{-}(20,30)}, {(30,0) \ar @{-}(16,42)}, (2.5,5)*{}="E"; (5,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(6,3)}; (16.5,24)*{}="E"; (19,35)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(13,31)}; (29,5)*{}="E"; (26,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(26,3)}; \end{xy}


(2) \begin{xy} (24,4)*{47^\circ}="A", (3,-6)*{x}="A", (19,20)*{33^\circ}="A", {(0,0) \ar @{-}(45,0)}, {(-8,-12) \ar @{-}(20,30)}, {(30,0) \ar @{-}(16,42)}, (-4,-5)*{}="E"; (5.5,0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(3,-5)}; (16,25)*{}="E"; (22.5,25)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(19,22)}; (29,5)*{}="E"; (26,-0.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(26,3)}; \end{xy}

<解答 \( \Large 1 \) >
(1)\( 107^\circ \)        (2)\( 80^\circ \)

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