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>H証明 2等辺3角形

2等辺3角形の性質

2等辺3角形の底辺の角を、底角(ていかく)と呼ぶ。

また、底角に対して、残りの角を、頂角(ちょうかく)と呼ぶ。


2等辺3角形の性質 その1:底角は等しい

\begin{xy} (25,0)*{頂角}="A", (0,-26)*{底角}="A", (51,-26)*{底角}="A", (25,-37)*{底辺}="A", (44,-30)*{\circ}="A", (6,-30)*{\circ}="A", {(25,-3) \ar @{-}(0,-33)}, {(25,-3) \ar @{-}(50,-33)}, {(0,-33) \ar @{-}(50,-33)}, {(14,-19) \ar @{-}(11,-17)}, {(36,-19) \ar @{-}(39,-17)}, (29,-6.5)*{}="E"; (21,-6.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(25,-10)}; (44,-25)*{}="E"; (41,-33.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(39,-28)}; (6,-25)*{}="E"; (9,-33.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(11,-28)}; \end{xy}

また、2等辺3角形の底辺への垂線は、底辺の中点を通る。


2等辺3角形の性質 その2:頂角から底辺へ、垂直2等分線が引ける

\begin{xy} (44,-30)*{\circ}="A", (6,-30)*{\circ}="A", {(25,-3) \ar @{-}(0,-33)}, {(25,-3) \ar @{-}(50,-33)}, {(0,-33) \ar @{-}(50,-33)}, {(25,-3) \ar @{-}(25,-33)}, {(14,-19) \ar @{-}(11,-17)}, {(36,-19) \ar @{-}(39,-17)}, (44,-25)*{}="E"; (41,-33.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(39,-28)}; (6,-25)*{}="E"; (9,-33.5)*{}="F"; "E"; "F" **\crv{(11,-28)}; {(23,-31) \ar @{-}(27,-31)}, {(23,-31) \ar @{-}(23,-33)}, {(27,-33) \ar @{-}(27,-31)}, {(13,-31) \ar @{-}(13,-35)}, {(15,-31) \ar @{-}(15,-35)}, {(37,-31) \ar @{-}(37,-35)}, {(35,-31) \ar @{-}(35,-35)}, \end{xy}

証明 2等辺3角形

2等辺3角形 \( ABC \) の頂点 \( A \) から

\( 辺BC \) の中点 \( M \) へ、\( 辺AM \) を引く。

\begin{xy} (25,0)*{A}="A", (0,-36)*{C}="A", (50,-36)*{B}="A", (25,-36)*{M}="A", {(25,-3) \ar @{-}(0,-33)}, {(25,-3) \ar @{-}(50,-33)}, {(0,-33) \ar @{-}(50,-33)}, {(25,-3) \ar @{-}(25,-33)}, {(14,-19) \ar @{-}(11,-17)}, {(36,-19) \ar @{-}(39,-17)}, {(12,-35) \ar @{-}(12,-31)}, {(13,-35) \ar @{-}(13,-31)}, {(38,-35) \ar @{-}(38,-31)}, {(37,-35) \ar @{-}(37,-31)}, \end{xy}

仮定

\( 辺AB = 辺AC・・・① \)

\( 辺BM = 辺CM・・・② \)


また、\(辺AM = 辺AM  (共通) ・・・③ \)


\( \bigtriangleup ABM \) と \( \bigtriangleup ACM \) において

\(① ② ③ \) より

3辺相等なので(3組の辺が、それぞれ等しいので)

\( \bigtriangleup ABM \equiv \bigtriangleup ACM \)


合同な3角形の、対応する辺と角は、それぞれ等しいので

\( \angle AMB = \angle AMC  \)


\( \angle AMB + \angle AMC = 180^\circ \)なので

\( \angle AMB = 90^\circ  \angle AMC = 90^\circ \)


以上より、2等辺3角形は、頂角から底辺へ、垂直2等分線が引ける。

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