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>B 平行4辺形の証明

平行4辺形の証明

平行4辺形の証明には、5つの条件がある。


条件1:2組の対辺がそれぞれ平行

条件2:2組の対辺がそれぞれ等しい

条件3:1組の対辺が平行で長さが等しい

条件4:2組の対角がそれぞれ等しい

条件5:対角線がそれぞれの中点で交わる


ここでは、条件1の、2組の対辺がそれぞれ平行であることで、平行4辺形を証明する。

証明 2組の対辺がそれぞれ平行

4角形 \( ABCD \) があり、\( \angle ACB = \angle CAD \)、\( \angle CAB = \angle ACD \) となっている。

4角形 \( ABCD \) が平行4辺形であることを、証明しなさい。

\begin{xy} (10,3)*{\small A}="A", (40,3)*{\small B}="A", (0,-18)*{\small D}="A", (30,-18)*{\small C}="A", {(0,-15) \ar @{-}(15,-15)}, {(15,-15) \ar @{-}(30,-15)}, {(10,0) \ar @{-}(25,0)}, {(25,0) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(5,-7)}, {(5,-7) \ar @{-}(10,0)}, {(30,-15) \ar @{-}(35,-7)}, {(35,-7) \ar @{-}(40,0)}, {(10,0) \ar @{-}(30,-15)}, \end{xy}


仮定

\( \angle ACB = \angle CAD \)

\( \angle CAB = \angle ACD \)


仮定より、\( \angle ACB = \angle CAD \) なので

辺 \( CB \) と 辺 \( AD \) は錯角が等しい。

したがって、\( CB\parallel AD ・・・① \)



同様に、仮定より、\( \angle CAB = \angle ACD \) なので

辺 \( AB \) と 辺 \( CD \) は錯角が等しい。

したがって、\( AB\parallel CD ・・・② \)



4角形 \( ABCD \) において

\(① ② \) より

2組の対辺がそれぞれ平行なので

4角形 \( ABCD \) は平行四辺形である。




<例題 \( \Large 1 \) > 

4角形 \( EFGH \) があり、\( \angle EFH = \angle GHF \)、\( \angle EHF = \angle GFH \) となっている。

4角形 \( EFGH \) が平行4辺形であることを、証明しなさい。

\begin{xy} (10,3)*{\small E}="A", (40,3)*{\small F}="A", (0,-18)*{\small H}="A", (30,-18)*{\small G}="A", {(0,-15) \ar @{-}(15,-15)}, {(15,-15) \ar @{-}(30,-15)}, {(10,0) \ar @{-}(25,0)}, {(25,0) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(5,-7)}, {(5,-7) \ar @{-}(10,0)}, {(30,-15) \ar @{-}(35,-7)}, {(35,-7) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(40,0)}, \end{xy}


<解答 \( \Large 1 \) >

仮定

\( \angle EFH = \angle GHF \)

\( \angle EHF = \angle GFH \)


仮定より、\( \angle EFH = \angle GHF \) なので

辺 \( EF \) と 辺 \( GH \) は錯角が等しい。

したがって、\( EF \parallel GH ・・・① \)



同様に、仮定より、\( \angle EHF = \angle GFH \) なので

辺 \(EH \) と 辺 \( FG \) は錯角が等しい。

したがって、\( EH \parallel FG ・・・② \)



4角形 \( EFGH \) において

\(① ② \) より

2組の対辺がそれぞれ平行なので

4角形 \( EFGH \) は平行四辺形である。

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