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>E 平行4辺形の証明

平行4辺形の証明

平行4辺形の証明には、5つの条件がある。


条件1:2組の対辺がそれぞれ平行

条件2:2組の対辺がそれぞれ等しい

条件3:1組の対辺が平行で長さが等しい

条件4:2組の対角がそれぞれ等しい

条件5:対角線がそれぞれの中点で交わる


ここでは、条件4の、2組の対角がそれぞれ等しいことで、平行4辺形を証明する。

証明 2組の対角がそれぞれ等しい

4角形 \( ABCD \) があり、\( \bigtriangleup ABC\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup ADC \)となっている。

4角形 \( ABCD \) が平行4辺形であることを、証明しなさい。

\begin{xy} (10,3)*{\small A}="A", (40,3)*{\small B}="A", (0,-18)*{\small D}="A", (30,-18)*{\small C}="A", {(0,-15) \ar @{-}(15,-15)}, {(15,-15) \ar @{-}(30,-15)}, {(10,0) \ar @{-}(25,0)}, {(25,0) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(5,-7)}, {(5,-7) \ar @{-}(10,0)}, {(30,-15) \ar @{-}(35,-7)}, {(35,-7) \ar @{-}(40,0)}, {(10,0) \ar @{-}(30,-15)}, \end{xy}


仮定

\( \bigtriangleup ABC\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup ADC \)


仮定より、合同な3角形の、対応する角は等しいので

\( \angle ABC = \angle CDA ・・・① \)



同様に、仮定より、合同な3角形の、対応する角は等しいので

\( \angle BAC = \angle DCA ・・・② \)

\( \angle BCA = \angle DAC ・・・③ \)

ここで

\( \angle DAB = \angle BAC + \angle DAC・・・④ \)

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA・・・⑤ \)

\(② ③④ ⑤ \) より

\( \angle DAB = \angle BCD ・・・⑥ \)

4角形 \( ABCD \) において

\(① ⑥ \) より

2組の対角がそれぞれ等しいので

4角形 \( ABCD \) は平行四辺形である。




<例題 \( \Large 1 \) > 

4角形 \( EFGH \) があり、\( \bigtriangleup EFH\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup GHF \)となっている。

4角形 \( EFGH \) が平行4辺形であることを、証明しなさい。

\begin{xy} (10,3)*{\small E}="A", (40,3)*{\small F}="A", (0,-18)*{\small H}="A", (30,-18)*{\small G}="A", {(0,-15) \ar @{-}(15,-15)}, {(15,-15) \ar @{-}(30,-15)}, {(10,0) \ar @{-}(25,0)}, {(25,0) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(5,-7)}, {(5,-7) \ar @{-}(10,0)}, {(30,-15) \ar @{-}(35,-7)}, {(35,-7) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(40,0)}, \end{xy}


<解答 \( \Large 1 \) >

仮定

\( \bigtriangleup EFH\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup GHF \)


仮定より、合同な3角形の、対応する角は等しいので

\( \angle FEH = \angle HGF ・・・① \)



同様に、仮定より、合同な3角形の、対応する角は等しいので

\( \angle EFH = \angle GHF ・・・② \)

\( \angle EHF = \angle GFH ・・・③ \)

ここで

\( \angle EFG = \angle EFH + \angle GFH・・・④ \)

\( \angle EHG = \angle GHF + \angle EHF・・・⑤ \)

\(② ③④ ⑤ \) より

\( \angle EFG = \angle EHG ・・・⑥ \)

4角形 \( EFGH \) において

\(① ⑥ \) より

2組の対角がそれぞれ等しいので

4角形 \( EFGH \) は平行四辺形である。




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