スポンサー広告

>F 平行4辺形の証明

平行4辺形の証明

平行4辺形の証明には、5つの条件がある。


条件1:2組の対辺がそれぞれ平行

条件2:2組の対辺がそれぞれ等しい

条件3:1組の対辺が平行で長さが等しい

条件4:2組の対角がそれぞれ等しい

条件5:対角線がそれぞれの中点で交わる


ここでは、条件5の、対角線がそれぞれの中点で交わることで、平行4辺形を証明する。

証明 対角線がそれぞれの中点で交わる

4角形 \( ABCD \) があり、対角線の交点を \( E \) とする。

\( \bigtriangleup ABE\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup CDE \)となっている。

4角形 \( ABCD \) が平行4辺形であることを、証明しなさい。

\begin{xy} (10,3)*{\small A}="A", (40,3)*{\small B}="A", (0,-18)*{\small D}="A", (30,-18)*{\small C}="A", (19,-10)*{\small E}="A", {(0,-15) \ar @{-}(15,-15)}, {(15,-15) \ar @{-}(30,-15)}, {(10,0) \ar @{-}(25,0)}, {(25,0) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(5,-7)}, {(5,-7) \ar @{-}(10,0)}, {(30,-15) \ar @{-}(35,-7)}, {(35,-7) \ar @{-}(40,0)}, {(10,0) \ar @{-}(30,-15)}, {(0,-15) \ar @{-}(40,0)}, \end{xy}


仮定

\( \bigtriangleup ABE\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup CDE \)


仮定より、合同な3角形の、対応する辺は等しいので

辺 \( AE \) と 辺 \( CE \) は等しい。

よって、\( AE = CE ・・・① \)



同様に、合同な3角形の、対応する辺は等しいので

辺 \( BE \) と 辺 \( DE \) は等しい。

よって、\( BE = DE ・・・② \)



4角形 \( ABCD \) において

\(① ② \) より

対角線がそれぞれの中点で交わるので

4角形 \( ABCD \) は平行四辺形である。




<例題 \( \Large 1 \) > 

4角形 \( EFGH \) があり、対角線の交点を \( I \) とする。

\( \bigtriangleup EHI\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup FGI \)となっている。

4角形 \( EFGH \) が平行4辺形であることを、証明しなさい。

\begin{xy} (10,3)*{\small E}="A", (40,3)*{\small F}="A", (0,-18)*{\small H}="A", (30,-18)*{\small G}="A", (19,-10)*{\small I}="A", {(0,-15) \ar @{-}(15,-15)}, {(15,-15) \ar @{-}(30,-15)}, {(10,0) \ar @{-}(25,0)}, {(25,0) \ar @{-}(40,0)}, {(0,-15) \ar @{-}(5,-7)}, {(5,-7) \ar @{-}(10,0)}, {(30,-15) \ar @{-}(35,-7)}, {(35,-7) \ar @{-}(40,0)}, {(10,0) \ar @{-}(30,-15)}, {(0,-15) \ar @{-}(40,0)}, \end{xy}


<解答 \( \Large 1 \) >

仮定

\( \bigtriangleup EHI\,\,\equiv\,\,\, \bigtriangleup FGI \)


仮定より、合同な3角形の、対応する辺は等しいので

辺 \( EI \) と 辺 \( GI \) は等しい。

よって、\( EI = GI ・・・① \)



同様に、合同な3角形の、対応する辺は等しいので

辺 \( HI \) と 辺 \( FI \) は等しい。

よって、\( HI = FI ・・・② \)



4角形 \( EFGH \) において

\(① ② \) より

対角線がそれぞれの中点で交わるので

4角形 \( EFGH \) は平行四辺形である。




次へ

前へ