スポンサー広告

>G 長方形の条件

長方形の条件

長方形は、平行4辺形の条件に加えて、さらに2つの条件がある。


条件1:内角がすべて等しい(4つの内角がすべて直角)

条件2:対角線の長さが等しい


ここでは、条件2の、長方形の対角線が等しいことを、証明してみよう。

証明 長方形の対角線が等しい

長方形 \( ABCD \) について、対角線が等しいことを証明しなさい。

\begin{xy} (0,0)*{\small A}="A", (40,0)*{\small B}="A", (0,-25)*{\small D}="A", (40,-25)*{\small C}="A", {(0,-3) \ar @{-}(40,-3)}, {(0,-22) \ar @{-}(40,-22)}, {(0,-3) \ar @{-}(0,-22)}, {(40,-3) \ar @{-}(40,-22)}, {(0,-3) \ar @{-}(40,-22)}, {(40,-3) \ar @{-}(0,-22)}, {(20,-4) \ar @{-}(20,-2)}, {(20,-23) \ar @{-}(20,-21)}, {(-1,-12) \ar @{-}(1,-12)}, {(39,-12) \ar @{-}(41,-12)}, {(-1,-11) \ar @{-}(1,-11)}, {(39,-11) \ar @{-}(41,-11)}, {(2,-3) \ar @{-}(2,-5)}, {(0,-5) \ar @{-}(2,-5)}, {(38,-3) \ar @{-}(38,-5)}, {(38,-5) \ar @{-}(40,-5)}, {(2,-20) \ar @{-}(2,-22)}, {(0,-20) \ar @{-}(2,-20)}, {(38,-20) \ar @{-}(38,-22)}, {(40,-20) \ar @{-}(38,-20)}, \end{xy}


仮定

\( \angle ABC \) = \( \angle BCD \) = \( \angle CDA \) = \( \angle DAB \) = \( 90^\circ \)

\( AB \) = \( CD \)

\( AD \) = \( BC \)



証明

\( \bigtriangleup ABD \) と \( \bigtriangleup BAC \) に注目して

仮定より \( AD = BC ・・・① \)

同様に、仮定より \( \angle BAD = \angle ABC ・・・② \)

また、辺 \( AB \) は共通 \(・・・③ \)



\( \bigtriangleup ABD \) と \( \bigtriangleup BAC \) において

\(① ② ③ \) より

2組の辺と、その間の角が、それぞれ等しいので

\( \bigtriangleup ABD \equiv \bigtriangleup BAC \)



合同な3角形の、対応する辺の長さは等しいので

\( AC = BD ・・・④ \)

よって長方形 \( ABCD \) の対角線は等しい。




<例題 \( \Large 1 \) > 

平行四辺形 \( EFGH \) があり、対角線の長さが等しい。

対角線の交点を \( I \) とする。

平行四辺形 \( EFGH \) が、長方形であることを、証明しなさい。

\begin{xy} (0,0)*{\small E}="A", (40,0)*{\small F}="A", (0,-25)*{\small H}="A", (40,-25)*{\small G}="A", (20,-15)*{\small I}="A", {(0,-3) \ar @{->}(20,-3)}, {(20,-3) \ar @{-}(40,-3)}, {(0,-22) \ar @{->}(20,-22)}, {(20,-22) \ar @{-}(40,-22)}, {(0,-3) \ar @{->}(0,-12)}, {(0,-12) \ar @{-}(0,-22)}, {(40,-3) \ar @{->}(40,-12)}, {(40,-12) \ar @{-}(40,-22)}, {(0,-3) \ar @{-}(40,-22)}, {(40,-3) \ar @{-}(0,-22)}, {(9,-9) \ar @{-}(11,-7)}, {(29,-18) \ar @{-}(31,-16)}, {(9,-16) \ar @{-}(11,-18)}, {(29,-7) \ar @{-}(31,-9)}, \end{xy}


<解答 \( \Large 1 \) >

仮定

\( EG = FH \)

\( EF \parallel GH \)

\( EH \parallel FG \)



証明

仮定より、\( EG = FH \) で

平行4辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので

\( EI = FI =GI =HI ・・・① \)



①より \( \bigtriangleup EIH \) と \( \bigtriangleup FGI \) は2等辺3角形なので

\( \angle IEH = \angle IHE \)

\( \angle IEH = \angle IHE \)

よって、\( HI = FI ・・・② \)



4角形 \( EFGH \) において

\(① ② \) より

対角線がそれぞれの中点で交わるので

4角形 \( EFGH \) は平行四辺形である。




次へ

前へ