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相加相乗平均

相加平均

足し算の(和の)平均を、相加平均(そうかへいきん)と呼ぶ。

例えば、\( \Large 2 \) と \( \Large 8 \) の相加平均は、 \( \huge \frac{2+8}{2}\Large=5 \) となる。

文字式で表すと、相加平均は \( \huge \frac{x+y}{2}\Large \) と書ける。



相乗平均

平均といえば、ほとんどが相加平均だった。

しかし、平均には、相乗平均(そうじょうへいきん)もある。

相乗平均(そうじょうへいきん)は、掛け算の(積の)平方根だ。

例えば、\( \Large 2 \) と \( \Large 8 \) の相乗平均は、 \( \large \sqrt{ 2\times8 } = \sqrt{16} =4 \) となる。

文字式で表すと、相乗平均は \( \Large \sqrt{ xy } \) と書ける。



<例題 \( \Large 1 \) >以下の2つの数の、相乗平均を求めなさい。

(1)    \( 30 \) と \( 3000 \)

(2)    \( \Large \frac{1}{4} \) と \( \Large \frac{1}{16} \)

<解答 \( \Large 1 \) >
(1) \( 300 \)     (2)\( \Large \frac{1}{8} \)

相乗平均の注意点

相乗平均は、正の数で考える。

例えば、\( \Large 2 \) と \( \Large 8 \) の相乗平均は、 \( \large \sqrt{ 2\times8 } = \sqrt{16} =4 \) となる。

しかし、\( \Large -2 \) と \( \Large 8 \) の相乗平均は、 \( \large \sqrt{ -2\times8 } = \sqrt{-16} \) となり

ルートの中身が、負の数になってしまう。

相加相乗平均

相加平均は、相乗平均よりも、大きくなる性質がある。

例えば、\( \Large 2 \) と \( \Large 8 \) の相加平均は \( \Large 5 \) で、相乗平均は \( \Large 4 \) となる。

文字式で表すと、\( \huge \frac{x+y}{2}\Large \geqq \sqrt{ \Large xy } \) と書ける。

ただし、\( \large x \geqq 0 \)  \( \large y \geqq 0 \) に注意しよう。

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